为什么需要四颗卫星才能精确定位？

小述：阿泰，你知道使用卫星定位系统精确定位用户的位置，最少需要接收几颗卫星的信号吗？

阿泰：应该是3颗吧？

小述：不对，最少需要接收4颗卫星的信号。

阿泰：不是求解出该用户的三维坐标x，y，z就行吗？也就是对应用户所在位置的经度、纬度和海拔高度......

小述：这只是理论上能得出的结果。事实上，手机时间和卫星时间之间的误差也需要考虑进去。

述泰科普小贴士

    卫星定位的基本原理是测定卫星与接收器之间的距离。以卫星为中心，以该距离为半径画球面，不同卫星确定的不同球面的交点，即为该接收器所在位置。

    具体来说：卫星每时每刻都在向全世界发射电磁信号，该信号中包含时刻t及该时刻下卫星的坐标x，y，z（以地心为圆心建立空间坐标系）等信息。

    当地面用户的接收器在t₁时刻接到该信息后，t₁减去卫星信号的时刻t可得时间差△t。由于电磁信号是以光速c（30万公里/秒）行进，由此可得卫星与接收器之间的距离L=c·△t 。

    举例来说：阿泰驾车时使用卫星导航系统，卫星1为他服务。在北京时间8:00:00，卫星1发出了一个信号，含卫星坐标（x₁，y₁，z₁）和时刻t₁=8:00:00，该信号以光速c传输到地球上。

    假设阿泰的信号接收器——手机（坐标x，y，z）接到该信号时的时刻t₁是8:00:02，那么△t₁=8:00:02-8:00:00=2秒，得出阿泰和卫星1之间的距离L₁=c·△t₁=60万公里（假设值）。

    根据空间几何，利用三角函数可列公式：

    (x₁-x)² + (y₁-y)² +(z₁-z)² = (c·△t₁)²

    用户接收到3颗卫星的信号，可联立三个方程组：

    ①(x₁-x)²+(y₁-y)²+(z₁-z)²=(c·△t₁)²

    ②(x₂-x)²+(y₂-y)²+(z₂-z)²=(c·△t₂)²

    ③(x₃-x)²+(y₃-y)²+(z₃-z)²=(c·△t₃)²

    三个方程解3个未知数，是有解的。由此我们可以得到阿泰的三维坐标（x，y，z），这也就是理论上使用卫星定位只需要3颗卫星的原因。

    但是，在实际应用中，会出现一个问题：△t的确定，受到双方时间精准性的影响。

    卫星上使用的是原子钟，时间极其精准，卫星信号发出的时间t没有问题。但用户手机上的时钟精度低，与卫星的标准时间会有t₀的误差（t₀为误差值，是未知的）。

    所以会出现这样的情况：我们以为阿泰的手机是在8:00:02接到的信号，但实际此时是8:00:01。△t应该是1秒而不是2秒，而这个结果再乘以光速c之后，误差就会变得特别大，因此定位结果可能会相差数公里，从而失去定位的意义。

    那该如何消除误差呢？这就需要引入第四颗卫星，来消除误差t₀的影响，也就是需要求出t₀的值。

    具体来说，将真正的时差定义为（△t-t₀），联立四个方程组可得：

    ①(x₁-x)²+(y₁-y)²+(z₁-z)²=[c·(△t₁-t₀)]²

    ②(x₂-x)²+(y₂-y)²+(z₂-z)²=[c·(△t₂-t₀)]²

    ③(x₃-x)²+(y₃-y)²+(z₃-z)²=[c·(△t₃-t₀)]²

    ④(x₄-x)²+(y₄-y)²+(z₄-z)²=[c·(△t₃-t₀)]²

    四个方程式计算出4个未知数，由此可计算出阿泰的精确坐标（x，y，z），并得知用户信号接收设备和卫星两者间相应的时间误差t₀。

    因此，卫星定位系统要想精确定位用户的位置，最少得接收到4颗卫星的信号。